Régua de Cálculo

O que você pode fazer com uma régua de cálculo?

Tradução da página web “What Can You Do With A Slide Rule?” com a permissão do autor, Dr. Peter Alfeld – Departamento de Matemática, Universidade de Utah – EUA.

Translated from web page “What Can You Do With A Slide Rule” with the author’s permission, Dr. Peter Alfeld – Department of Mathematics, University of Utah – USA.

Houve um tempo em que ainda não existiam calculadoras eletrônicas. Isso não nos impediu de fazer coisas complicadas, como ir à Lua, descobrir a dupla hélice ou projetar o Boeing 747. Naquela época, quando precisávamos calcular coisas, usávamos réguas de cálculo que são instrumentos maravilhosos e lindos !

Existem muitas páginas sobre réguas de cálculo na web, e você ainda pode comprar réguas de cálculo novas (com 40 anos, mas nunca usadas, e ainda na caixa fornecida de fábrica) em vários lugares. O objetivo desta página de régua de cálculo específica, e bastante idiossincrática, é descrever escalas comuns usadas em réguas de cálculo e o tipo de expressões matemáticas que podem ser avaliadas com essas escalas.

 

As duas imagens nesta página foram digitalizadas por Clark McCoy da Oughtred Society. Eles mostram os dois lados de uma régua de cálculo específica da minha coleção. Esta é uma das réguas de cálculo mais sofisticadas e bonitas já feitas, uma Faber Castell Novo Biplex 2/83 N. É feito de plástico e possui 30 escalas e 11 marcas de cursor. A regra tem cerca de 13,5 polegadas de comprimento e 2,25 polegadas de largura. Você pode clicar nas fotos e ver uma imagem ampliada, mas isso não chega nem perto de segurar a coisa real em suas mãos. Parece pesado e sólido. O slide e o cursor se movem com suavidade sedosa e ainda assim permanecem no lugar onde quer que você os solte. As letras são nítidas, detalhadas e imaculadas! Nenhum espaço é desperdiçado, mas a informação também não fica lotada. Cada escala tem um propósito.

As réguas de cálculo alemãs daquela época (final dos anos 1960) geralmente vêm com uma régua de plástico acessória. Esta régua de cálculo específica possui uma régua (não mostrada) que lista fórmulas comuns e dados físicos de um lado. Eles podem ser úteis para cálculos de réguas de cálculo. No entanto, o outro lado dessa régua tem uma lista detalhada e uma explicação de notações comuns na teoria dos conjuntos ! Isso é tão inútil para cálculos de réguas de cálculo quanto uma lista de grandes mamíferos. Aparentemente, essa régua de cálculo foi feita quando a “nova matemática” estava no auge e a Faber Castell queria sua parte na ação.

A ideia básica

É claro como adicionar ou subtrair dois comprimentos usando duas réguas comuns. As réguas de cálculo fazem a mesma coisa, adicionam e subtraem comprimentos, mas não os chamam de comprimentos. Por exemplo, chamando-os de logaritmos, você pode multiplicar e dividir números. Na verdade, não conheço nenhuma régua de cálculo que permita adicionar ou subtrair números. No apogeu das réguas de cálculo, essa era considerada uma tarefa trivial que você fazia de cabeça ou em um pedaço de papel, se fosse necessário.

[Jeff Weiner chamou minha atenção para o fato de que na verdade existem algumas regras de cálculo que podem somar e subtrair, especificamente as regras Pickett Microline 115 e Pickett 901.]

Uma régua de cálculo consiste em três partes: o corpo , o slide e o cursor . O corpo e a lâmina são marcados com escamas. O cursor possui uma linha fina que facilita o posicionamento preciso do cursor em um ponto específico em alguma escala. Pode haver outras marcas no cursor que são usadas para fins específicos e especiais.

Multiplicação Básica

O procedimento mais básico realizado em uma régua de cálculo é a multiplicação de dois números uev usando as escalas C e D. Essas duas escalas são idênticas. C está no slide e D está no corpo. Mova a linha do cabelo sobre você na escala D. Mova o slide para que seu início (marcado por 1 na escala C , e também chamado de índice da escala C ) fique alinhado com a linha do cabelo. Mova a linha do cabelo para o número v na escala C. Leia o resultado abaixo da linha do cabelo na escala D. Se o número v se projetar além do final da régua de cálculo, mova o final da régua de cálculo (marcado com 10 na escala C ) acima de u e leia o resultado como antes na escala D abaixo do número v na escala C.

Por que?

Por que isso funciona? As escalas C e D mostram um número x que é igual ao exponencial da distância de x desde o início da escala C ou D. Então, basicamente, você está adicionando os logaritmos dos números u e v , e o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos. Esta é a identidade fundamental subjacente a todos os cálculos de réguas de cálculo, e vale a pena afirmar com destaque:

$\displaystyle \log(u*v) = \log u + \log v.$

É conveniente pensar no logaritmo como o logaritmo comum (base 10) e no comprimento da régua de cálculo como uma unidade, mas você também pode pensar em log significando o logaritmo natural, e o comprimento da régua de cálculo como log (10 ) unidades.

A multiplicação de dois números exibe duas propriedades importantes dos cálculos com réguas de cálculo:

  1. A reta numérica real é infinita e as réguas de cálculo têm comprimento finito. Portanto, todas as escalas podem mostrar apenas uma parte da reta numérica real. Nas escalas C e D , qualquer número x é mostrado como um número entre 1 e 10 e é determinado apenas até um fator que seja uma potência inteira de 10 . Em outras palavras, sua régua de cálculo geralmente não mostra a localização do ponto decimal. Você deve entender seu problema bem o suficiente para saber onde colocá-lo. A régua de cálculo também não informa o sinal do seu resultado.
  2. Comparada a uma calculadora, uma régua de cálculo é severamente limitada em sua precisão. Você pode inserir e ler um número normalmente com apenas dois ou três dígitos decimais.

Escalas

Todas as outras escalas em uma régua de cálculo são referenciadas às escalas C e D. A seguir está uma lista de escalas comumente encontradas em réguas de cálculo. Para cada escala listamos o nome (como C ), a função subjacente (como $f(x) = x$) e algumas explicações ou comentários.

Escala  Função Comentários
CD $f(x) = x$ As escalas básicas. C está no slide, D no corpo.

 
CI, DI $ f(x) = \frac{1}{x}$ CI está no slide, DI no corpo.
CF, DF $f(x) = \pi x$ CF está no slide, DF no corpo.
CIF, DIF $ f(x) = \frac{1}{\pi x}$ CIF está no slide, DIF no corpo.
A, B $f(x)=x^2$ A está no corpo, B está no slide.
R , W $ f(x) = sqrt{x}$ Pode vir com subscritos para distinguir $\sqrt{x}$e $\sqrt{10x}$e ter uma marca anexada para distinguir a localização no corpo ou slide. Essas escalas são rotuladas como R ( Root ) ou W ( Wurzel ). O símbolo radical também pode ser usado.
K $f(x)=x^3$ Essa escala geralmente ocorre sozinha, e não como membro de um par.
LL, E $f(x) = e^x$ou$f(x)=e^{-x}$ Esta é uma das escalas que mostram a vírgula decimal. Geralmente existem várias escalas, como
\begin{displaymath}\begin{array}{lcccc} & \hbox{LL}_0 & \hbox{LL}_1 & \hbox{LL}... ...) = & e^{0,001x} & e ^{0,01x} & e^{0,1x} & e^x & \\ \end{array}\end{displaymath}             \begin{displaymath}\begin{array}{lcccc} & \hbox{LL}_{00} & \hbox{LL}_{01} & \hb... ...e^{-0,001x} & e^{-0,01x} & e^{-0,1x} & e^{-x} & \\ \end{array}\end{displaymath}
onde $x$está no intervalo$[1,10]$
eu $f(x) = log x$ A única escala em uma régua de cálculo que tem um incremento constante. Geralmente no slide. Se houvesse uma dessas escalas no slide e outra no corpo, elas poderiam ser usadas para somar números .
S $f(x) = \arcsin x$,$ f(x) = \arccos x$ Lista o ângulo $\alfa$para $ x = pecado \alfa$o qual $ x=\cos \alfa$. Nas réguas de cálculo, todos os ângulos são medidos em graus e residem no intervalo $ [0^\circ,90^\circ]$. A escala geralmente lista ambos $ \arcsin$e $\arccos$, usando a identidade
$\displaystyle \sin\(90^\circ - \alpha\)= \cos\alpha.$
T $f(x) = \arctan x$,$ f(x) = \hbox{arccot~} x$ Semelhante à escala S. $x$está no intervalo $[0,1,1]$, $ \arctan x$está em $ [5,8^\circ,45^\circ]$e $ \hbox{arccot~} x = 90^\circ - \arctan x$. Pode haver uma escala semelhante $x$no intervalo, $[1,10]$caso em que subscritos podem ser usados ​​para distinguir as escalas.
ST $ f(x) = \hbox{arco} x$ mostrando o ângulo (em graus) no círculo unitário para um arco de comprimento $x$onde $x$está no intervalo $[0,01,0,1]$. Para arcos tão pequenos, dentro da precisão de uma régua de cálculo, o ângulo (medido em radianos), o seno e a tangente são todos iguais.
P $ f(x) = sqrt{1-x^2}$ para $x$no intervalo $[0,1,1]$. A escala pitagórica.
H $ f(x) = sqrt{1+x^2}$ para $x$no intervalo $[0,1,1]$. Pode haver outra escala para $x$in $[1,10]$e as duas escalas podem ser distinguidas por subscritos.
Sh $f^{-1}(x) = (e^xe^{-x})/2$ $f$é o inverso do seno hiperbólico. $x$está no intervalo $[1,10]$Se uma escala estiver presente $x$nas $[0,1,10]$escalas podem ser distinguidas por subscritos.
CH $f^{-1}(x) = (e^x+e^{-x})/2$ $f$é o inverso do cosseno hiperbólico. $x$está no intervalo $[1,10]$.
º $f^{-1}(x) = (e^xe^{-x})/(e^x+e^{-x})$ $f$é o inverso da tangente hiperbólica. $x$está no intervalo $[0,1,1]$.
Tabela 1: Escalas Comuns

 

Uma variável

O poder de uma régua de cálculo decorre da interação das escalas e dos movimentos do slide e do cursor. No entanto, mesmo que seu slide estivesse alinhado com as escalas do corpo, mas congelado no lugar, você poderia usar sua régua de cálculo como uma tabela de pesquisa para um grande número de fórmulas. Alguns deles estão listados nas Tabelas 2 e 3. Por exemplo, se você deseja calcular a expressão, $ \sqrt {x/\pi} $mova a linha fina $x$nPDFtka escala CF ou DF e leia o resultado na escala W.

De forma mais geral, se você escolher um número $x$em uma escala correspondente à função $f$(conforme listado na Tabela 1) e ler o número correspondente $r(x)$em uma escala correspondente à função $g$, então:

$\estilo de exibição r(x) = g\esquerda(f^{-1}(x)\direita)$

onde $f^{-1}$é a função inversa de $f$. As linhas das tabelas 2 e 3 correspondem a $f$, e as colunas a $g$.

Observe que $x$não é o número abaixo da linha do cabelo na escala C, a menos que você decida começar nessa escala!

  $CD$ $CDI$ $CDF$ $CDIF$ $AB$ $W$ $K$
CD $x$   $ \ pi x $ $ {\ frac {1}{\ pi x}} $ ${x}^{2} $ $\sqrt{x}$ ${x}^{3} $
CDI ${x}^{-1} $ $x$ $ {\frac {\pi}{x}} $ $ {\frac {x}{\pi}} $ ${x}^{-2} $ $ {\frac {1}{\sqrt {x}}} $ ${x}^{-3} $
CDF $ {\frac {x}{\pi}} $ $ {\frac {\pi}{x}} $ $x$ ${x}^{-1} $ $ {\frac {{x}^{2}}{{\pi}^{2}}} $ $ \sqrt {x/\pi} $ $ {\frac {{x}^{3}}{{\pi}^{3}}} $
CDIF $ {\ frac {1}{\ pi x}} $ $ \ pi x $ ${x}^{-1} $ $x$ $ {\frac {1}{{x}^{2}{\pi}^{2}}} $ $ {\frac {\sqrt {{\pi}^{-1}}}{\sqrt {x}}} $ $ {\frac {1}{{x}^{3}{\pi}^{3}}} $
AB $\sqrt{x}$ $ {\frac {1}{\sqrt {x}}} $ $ \sqrt {x}\pi $ $ {\frac {1}{\sqrt {x}\pi}} $ $x$ $\sqrt[4]{x} $ ${x}^{3/2} $
C ${x}^{2} $ ${x}^{-2} $ $ {x}^{2}\pi $ $ {\frac {1}{{x}^{2}\pi}} $ ${x}^{4} $ $x$ ${x}^{6} $
K $\sqrt[3]{x} $ $ {\frac {1}{\sqrt [3]{x}}} $ $ \sqrt [3]{x}\pi $ $ {\frac {1}{\sqrt [3]{x}\pi}} $ ${x}^{2/3}$ $\sqrt[6]{x}$ $x$
LL $ \ln \esquerda( x \direita) $ $ \left( \ln \left( x \right) \right) ^{-1} $ $ \ln \esquerda( x \direita) \pi $ $ {\frac {1}{\ln \left( x \right) \pi}} $ $ \esquerda( \ln \esquerda( x \direita) \direita) ^{2} $ $ \sqrt {\ln \esquerda( x \direita) } $ $ \esquerda( \ln \esquerda( x \direita) \direita) ^{3} $
eu ${10}^{x}$ ${10}^{-x} $ $ {10}^{x}\pi $ $ {\frac {\displaystyle {10}^{-x}}{\displaystyle\pi}} $ ${100}^{x}$ $\sqrt{10^x}$ ${1000}^{x} $
S $ \sin \esquerda( x \direita) $ $ \left( \sin \left( x \right) \right) ^{-1} $ $ \sin \left( x \right) \pi $ $ {\frac {1}{\sin \left( x \right) \pi}} $ $ \left( \sin \left( x \right) \right) ^{2} $ $ \sqrt {\sin \left( x \right) } $ $ \left(\sin \left( x \right)\right)^3 $
T $ \tan \esquerda( x \direita) $ $ \left( \tan \left( x \right) \right) ^{-1} $ $ \tan \esquerda( x \direita) \pi $ $ {\frac {1}{\tan \left( x \right) \pi}} $ $ \esquerda( \tan \esquerda( x \direita) \direita) ^{2} $ $ \sqrt {\tan \esquerda( x \direita) } $ $ \esquerda( \tan \esquerda( x \direita) \direita) ^{3} $
P $\sqrt{1-{x}^{2}} $ $ {\frac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}} $ $ \sqrt {1-{x}^{2}}\pi $ $ {\frac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}\pi}} $ $1-{x}^{2} $ $\sqrt[4]{1-{x}^{2}}$ $ \esquerda( 1-{x}^{2} \direita) ^{3/2} $
H $\sqrt{-1+{x}^{2}} $ $ {\frac {1}{\sqrt {-1+{x}^{2}}}} $ $ \sqrt {-1+{x}^{2}}\pi $ $ {\frac {1}{\sqrt {-1+{x}^{2}}\pi}} $ $ -1+{x}^{2} $ $\sqrt[4]{-1+{x}^{2}} $ $ \esquerda( -1+{x}^{2} \direita) ^{3/2} $
Tabela 2: Conversão de Uma Variável

 

 

  $LL$ $L$ $S$ $T$ $P$ $H$  
CD ${e^{x}} $ $\log\esquerda(x\direita) $ $ \arcsin \esquerda( x \direita) $ $ \arctan \esquerda( x \direita) $ $\sqrt{1-{x}^{2}} $ $\sqrt{1+{x}^{2}} $  
CDI ${e^{{x}^{-1}}} $ $ \log \esquerda( {x}^{-1} \direita) $ $ \arcsin \left( {x}^{-1} \right) $ $ \arctan \esquerda( {x}^{-1} \direita) $ $ {\frac {\sqrt {-1+{x}^{2}}}{x}} $ $ {\frac {\sqrt {1+{x}^{2}}}{x}} $  
CDF $ {e^{{\frac {x}{\pi}}}} $ $ \log \left( {\frac {x}{\pi}} \right) $ $ \arcsin \left( {\frac {x}{\pi}} \right) $ $ \arctan \left( {\frac {x}{\pi}} \right) $ $ \sqrt {{\frac {{\pi}^{2}-{x}^{2}}{{\pi}^{2}}}} $ $ \sqrt {{\frac {{\pi}^{2}+{x}^{2}}{{\pi}^{2}}}} $  
CDIF $ {e^{{\frac {1}{\pi x}}}} $ $ \log \left( {\frac {1}{\pi x}} \right) $ $ \arcsin \left( {\frac {1}{\pi x}} \right) $ $ \arctan \left( {\frac {1}{\pi x}} \right) $ $ \sqrt {{\frac {{x}^{2}{\pi}^{2}-1}{{\pi}^{2}}}}{x}^{-1} $ $ \sqrt {{\frac {{x}^{2}{\pi}^{2}+1}{{\pi}^{2}}}}{x}^{-1} $  
AB $ {e^{\sqrt {x}}} $ $ log esquerda (sqrt {x} direita) $ $ \arcsin \left( \sqrt {x} \right) $ $ \arctan \left( \sqrt {x} \right) $ $\sqrt{1-x} $ $\sqrt{1+x}$  
C ${e^{{x}^{2}}} $ $ \log \esquerda( {x}^{2} \direita) $ $ \arcsin \left( {x}^{2} \right) $ $ \arctan \esquerda( {x}^{2} \direita) $ $\sqrt{1-{x}^{4}} $ $\sqrt{1+{x}^{4}} $  
K $ {e^{\sqrt[3]{x}}} $ $ \log \esquerda( \sqrt [3]{x} \direita) $ $ \arcsin \left( \sqrt [3]{x} \right) $ $ \arctan \left( \sqrt [3]{x} \right) $ $\sqrt{1-{x}^{2/3}} $ $\sqrt{1+{x}^{2/3}} $  
LL $x$ $ \log \left( \ln \left( x \right) \right) $ $ \arcsin \left( \ln \left( x \right) \right) $ $ \arctan \left( \ln \left( x \right) \right) $ $ \sqrt {1- \left( \ln \left( x \right) \right) ^{2}} $ $ \sqrt {1+ \left( \ln \left( x \right) \right) ^{2}} $  
eu $ {e^{\displaystyle{10}^{x}}} $ $ x $ $ \arcsin \left( {10}^{x} \right) $ $ \arctan \left( {10}^{x} \right) $ $ \sqrt {+{100}^{x}-1} $ $ \sqrt {1+{100}^{x}} $  
S $ {e^{\sin \left( x \right) }} $ $ \log \left( \sin \left( x \right) \right) $ $ x $ $ \arctan \left( \sin \left( x \right) \right) $ $ \cos \left( x \right) $ $ \sqrt {2- \left( \cos \left( x \right) \right) ^{2}} $  
T $ {e^{\tan \left( x \right) }} $ $ \log \left( \tan \left( x \right) \right) $ $ \arcsin \left( \tan \left( x \right) \right) $ $ x $ $ \sqrt {1- \left( \tan \left( x \right) \right) ^{2}} $ $ \sqrt {1+ \left( \tan \left( x \right) \right) ^{2}} $  
P $ {e^{\sqrt {1-{x}^{2}}}} $ $ \log \left( \sqrt {1-{x}^{2}} \right) $ $ \arcsin \left( \sqrt {1-{x}^{2}} \right) $ $ \arctan \left( \sqrt {1-{x}^{2}} \right) $ $ x $ $ \sqrt {2-{x}^{2}} $  
H $ {e^{\sqrt {-1+{x}^{2}}}} $ $ \log \left( \sqrt {-1+{x}^{2}} \right) $ $ \arcsin \left( \sqrt {-1+{x}^{2}} \right) $ $ \arctan \left( \sqrt {-1+{x}^{2}} \right) $ $ \sqrt {2-{x}^{2}} $ $ x $  
Tabela 3: Conversão de mais uma variável

 

Existem algumas advertências sobre a leitura das Tabelas 2 e 3. Por exemplo, $ x $pode ter que estar em um determinado intervalo, e as tabelas não fazem distinção entre diferentes versões da mesma escala, por exemplo, as várias escalas LL. Para a escala S, consideramos apenas a função inversa do seno, não a função inversa do cosseno. Portanto, antes de usar sua régua de cálculo conforme sugerido nas tabelas, você terá que pensar cuidadosamente sobre o que está fazendo, o que nunca é demais. A composição de algumas dessas fórmulas é um pouco idiossincrática. Eles foram em sua maioria gerados por máquina e eu não queria introduzir erros adicionais por meio de edição manual excessiva.

Como as tabelas indicam claramente, se você mover a linha do cabelo sobre qualquer número em qualquer escala e ler o número na mesma escala logo abaixo da linha do cabelo, você obterá o mesmo número de volta!

 

Duas variáveis

É claro que o número de possibilidades aumenta enormemente ao permitir que o slide se mova. Consideramos dois procedimentos, MAIS e MENOS, envolvendo as escalas 1, 2 e 3. As escalas 1 e 3 estão no corpo, a escala 2 está na lâmina.

MAIS: Selecione u na escala 1 (no corpo), alinhe-o com o índice da escala 2 (no slide), mova a linha do cabelo para v na escala 2 e leia o resultado na escala 3 (no corpo), abaixo a linha do cabelo. Por exemplo, se as escalas envolvidas forem D , C e D , o resultado seria o produto uv .

MENOS: Selecione u na escala 1, alinhe-o com v na escala 2 do slide, mova a linha do cabelo para o índice da escala 2 e leia o resultado na escala 3 no corpo, abaixo da linha do cabelo. Por exemplo, se as escalas envolvidas forem novamente D , C e D , o resultado será o quociente $ \frac{u}{v}$,.

O que acontece se usarmos outras escalas? Supondo uma régua de cálculo (muito hipotética) que tenha todas as escalas listadas acima, tanto no corpo quanto no slide, esses dois procedimentos permitem avaliar 3.540 expressões diferentes de 4.394 maneiras diferentes. Seis exemplos são dados na Tabela 4. Clique aqui para ver um arquivo pdf organizado de forma semelhante (com várias centenas de páginas) mostrando todas as possibilidades.

 

Em geral, se $ f$for a função correspondente à escala 1 (novamente, conforme listado na Tabela 1), $ g$a função correspondente à escala 2 e $ h$a função correspondente à escala 3, então o resultado $ r(u,v)$que você lê na escala 3 é

 

$\displaystyle r(u,v) = h\left(\exp\left[\log\left(f^{-1}(u)\right) \pm \log\left(g^{-1}(v)\right)\right]\right)$

onde a base do logaritmo é o comprimento da régua de cálculo e exp é a função inversa de log. O símbolo $ \pm$indica se deve usar o procedimento de mais ou de menos.

linha
entrada
Fórmula
variação
resultado
Escala 1
Escala 2
Escala 3
+/-
1
 1     1     1     $ \displaystyle uv $     CD     CD     CD     +
2
 15     2     1     $ \displaystyle {\frac {u}{v}} $     CD     CD     CD     –
3
 2403     1803     1     $ \displaystyle {u}^{v} $     LL     CD     LL     +
4
 139     26     2     $ \displaystyle{\sqrt{\frac{v^2+u^2}{v^2}}}$     CD     CDI     H     +
5
 287     83     1     $ \displaystyle u^3v^{3/2}$     CD     AB     C     –
6
 424     168     1     $ \displaystyle \arcsin\left(\frac{u}{\ln(v)}\right)$     CD     LL     S     –
Tabela 4: Cálculos de Duas Variáveis

 

As três primeiras linhas da Tabela 4 mostram as operações mais comuns em uma régua de cálculo: produto, quociente e potência.

As últimas três linhas mostram fórmulas menos comuns que podem ser avaliadas. Assim, de acordo com a quarta linha, para calcular $ \displaystyle{\sqrt{\frac{v^2+u^2}{v^2}}}$siga o procedimento PLUS com escalas 1, 2 e 3 sendo D , CI e H , respectivamente. O primeiro número nessa linha, 139, indica a entrada na tabela pdf , 26 significa que é a 26ª fórmula distinta na tabela e 2 significa que é a segunda maneira de avaliar esta fórmula específica. Esses números não são importantes para o exemplo, mas ilustram a organização da tabela pdf. As advertências aplicam-se ainda mais do que à variável Tabela 2 e 3 acima. As variáveis ​​devem estar em determinados intervalos, e você pode ter que ser criterioso sobre qual variante da escala relevante usar para ler o resultado.

É claro que os manuais de réguas de cálculo não listam milhares de fórmulas. Eles descrevem princípios básicos e então as pessoas podem descobrir como usar as réguas de cálculo da melhor forma para suas aplicações específicas. Existem maneiras mais fáceis de calcular $ \displaystyle{\sqrt{\frac{v^2+u^2}{v^2}}}$, mas se você tiver que avaliar essas expressões muitas vezes, eventualmente encontrará o atalho. Depois de obtê-lo, você poderá impressionar seus amigos e colegas de trabalho!

O último exemplo da Tabela 4 requer uma escala LL no slide. Quando eu estava no ensino médio, nossa régua de cálculo era a Aristo Scholar 903. Uma versão dela tem corpo e cursor com um lado, mas um slide com dois lados. A parte de trás do slide mostra várias escalas LL. Portanto, antes de fazer esse cálculo, você precisa virar o slide. Isso fornece uma régua de cálculo muito estranha sem escala C. Durante anos me perguntei que tipo de aplicativo alguém gostaria de virar o slide no Aristo Scholar, e depois de escrever esta página da web eu sei!

Três variáveis

Suponha que consideremos uma variante do procedimento PLUS onde em vez do índice usamos um número numa quarta escala. Assim, começamos novamente colocando a linha do cabelo acima do número u na escala 1. Em seguida, movemos o número v na escala 2 abaixo da linha do cabelo. Em seguida, movemos a linha do cabelo acima do número w na escala 3. Finalmente lemos o resultado na escala 4 abaixo da linha do cabelo. As escalas 1 e 4 estão no corpo, as escalas 2 e 3 no slide. Se as escalas forem D , C , C , D respectivamente, a resposta é uw/v .

Com as 13 escalas aqui assumidas, existem 24.314 expressões distintas, preenchendo 2.143 páginas impressas que você pode visualizar ou baixar aqui. As quatro colunas que seguem a expressão matemática fornecem as escalas 1, 2, 3 e 4 usadas.

Multiplicação e divisão sofisticadas

Multiplicação sofisticada parece um oxímoro, mas não está na tradição das regras de cálculo. Podemos multiplicar e dividir usando as escalas C e D e, portanto, em particular, podemos multiplicar e calcular recíprocos. Portanto, não há nada que possamos calcular com as escalas CI , DI , CF , DF , CIF e DIF que não possamos calcular apenas com as escalas C e D. O objetivo dessas escalas adicionais é tornar a multiplicação e a divisão rápida e fácil, minimizando o número de vezes e as distâncias que o slide e o cursor precisam ser movidos, principalmente ao fazer divisões e multiplicações repetidas . Experimente e você verá que é especialmente conveniente se multiplicações e divisões se alternarem. Se você tiver apenas uma sequência de multiplicações, poderá substituir algumas delas por uma divisão pelo inverso do fator relevante, usando as escalas CI e DI . Nas escalas *F , o número 1 está quase exatamente no meio dessas escalas e, portanto, ao mudar para essas escalas quando apropriado, pode-se reduzir a distância pela qual é necessário mover o slide! Se esse fosse o seu único propósito, o fator de dobramento ideal para as escalas *F teria sido a raiz quadrada de 10 . Acontece que está próximo dessa raiz quadrada e funciona quase tão bem. Além disso, torna possível multiplicar ou dividir por sem qualquer movimento de deslizamento. Em algum momento no passado, alguém teve a ideia brilhante de aproximar a raiz quadrada de 10 por .

Equações quadráticas

Conforme discutido acima, uma coisa que as réguas de cálculo podem fazer e as calculadoras não conseguem é criar tabelas. Aqui está uma aplicação intrigante dessa ideia que encontrei nas Instruções de regras de cálculo Post Versalog, Frederick Post Company, 1963. Esse livrinho legível descreve muitas aplicações de regras de cálculo.

Suponha que queiramos encontrar as raízes da equação

$\displaystyle x^2+bx +c = 0.$

Vamos supor que isso $ c$seja positivo e que as raízes sejam reais. Se $ c$for negativo, ignoramos esse fato e nos preocupamos mais tarde com os sinais das soluções. Como exercício, você pode querer descobrir o que acontece quando as raízes da equação quadrática são complexas. Se as soluções forem $ u$e $ v$tivermos

$\displaystyle (x-u)(x-v) = x^2-(u+v)x+uv= x^2+bx + c.$

Então, queremos encontrar dois números $ u$e $ v$que sejam somados $ b$e multiplicados $ c$. Movemos a linha do cabelo $ c$na escala D e colocamos o início ou o fim do slide abaixo da linha do cabelo (escolhendo o que causa a menor projeção do slide além do corpo). Agora, o produto de qualquer par de números nas escalas D e CI (ou nas escalas DF e CIF ) é igual a $ c$. Sua régua de cálculo agora contém uma tabela de pares de números que têm o mesmo produto. Tudo o que resta fazer é mover a linha do cabelo até encontrarmos um par de números nas escalas D e CI (ou escalas DF e CIF ) que somam $ b$. Calcular mentalmente as somas à medida que movemos a linha do cabelo é um exercício agradável que não requer ajuda externa. Assim que tivermos o par de números, podemos descobrir o sinal das raízes a partir dos sinais de $ b$e $ c$.

 

Marcas de cursor

Muitas réguas de cálculo possuem marcas de finalidade especial nos cursores, além da linha do cabelo. Como ilustração, aqui está uma lista de cálculos que podem ser realizados com as marcas do cursor na régua de cálculo Faber Castell ilustrada acima.

  • Coloque a linha do cabelo sobre o diâmetro de um círculo na escala D ou C e leia a área do círculo sob uma marca especial na escala A ou B.
  • As mesmas marcas podem ser usadas com a escala CI para calcular os volumes dos cilindros.
  • Duas marcas facilitam a conversão instantânea de kW e HP ( PS ) nas escalas C e D.
  • Para multiplicar um número por 3,6 (e uma potência inteira de 10), coloque a linha do cabelo sobre ele na escala C ou D e leia o resultado sob uma marca especial na escala CF ou DF . Claro, invertendo esse procedimento vamos dividir por 3,6.

Regras de slide específicas

A Tabela 5 lista escalas em algumas réguas de cálculo específicas. Os números indicam o número de escalas presentes. Por exemplo, 8 escalas LL geralmente significam 8 escalas distintas, 2 escalas C geralmente significam que há uma escala C em cada lado da régua de cálculo. Uma entrada verde significa que a escala está no slide, e uma entrada preta significa que a escala está no corpo. Nome é o nome da régua de cálculo. Lados lista quantos lados são usados ​​(um ou ambos, ou um e meio no caso em que o slide é reversível, mas não há escamas na parte traseira do corpo). Escalas lista o número total de escalas. A tabela é classificada diminuindo o número total de escalas. Marcas lista quantas marcas estão no cursor, incluindo a linha do cabelo, e as colunas restantes indicam as escalas específicas listadas acima. A última coluna fornece os números de referência correspondentes às notas que seguem a tabela.

 

Nome Lados Balanças Marcas  C   D   IC   DI   FC   DF   CIF   A   B   R, W   K   LL   eu   S   T   ST   P   H   Sh   CH   º   Notas 
 
 Pickett N4  2  33  2  2  2  2  1  1  1  1      2    8  1  1  2  1      2    1  9
 Aristo Hiperlog 0972  2  31  6  2  2  1  1  1  1  1  1  1    1  8  1  1  1  1  1  2  2  1  1  
 Faber Castell Novo-Biplex 2/83 N  2  30  11  2  2  2  1  1  1  1  1  1  2, 2  1  8  1  1  2  1  1          1,2
 Pickett N803  2  28  2  2  2  2  1  1  1  1  1  1  2  1  8  1  1  1  1            6,7
 Aristo MultiLog 0970  2  24  6  2  2  1  1  1  1  1  1  1    1  8  1  1  1  1            
 Studio Aristóteles  2  23  6  2  2  1    1  1  1  1  1    1  6  1  1  2  1  1          
 Pós Versálogo  2  23  2  2  2  1    1  1  1      2  1  8  1  1  1  1            
 Faber Castell 52/82  2  22  7  2  2  1    1  1  1  1  1    1  3  1  1, 1  2  1  1          4
 Pickett N600  2  22  2  2  2  1  1  1  1    1  1    1  6  1  1  1  1            8
 Aristo Scholar 0903 LL  1,5  15  4  1  1  1          1  1    1  3  1  1, 1  1  1            3,4
 Faber Castell 111/54  1,5  14  5  1  1  1          1  1    1  3  1  1  1    1          3,4,10
 Faber Castell 57/89  1,5  14  5  1  1  1          1  1    1  2  1  1, 1  2  1            10
 Pickett Eletrônico N-515  1  11  1  1  1  1          1  1        2  1  1              13
 Aristo Acadêmico 0903  1  10  4  1  1  1          1  1    1    1  1  1  1            
 Regra de projeção trigonométrica de Pickett  1  9  1  1  1  1          1  1    1    1  1  1              12
 Pickett Microlinha 120  1  9  1  1  1  1          1  1    1    1  1  1              11
 Mentor Faber Castell 52/80  1  7  5  1  1  1    1  1    1      1                      5
 Pickett Microlinha 160  1  7  1  1  1  1          1  1    1                      
 
Tabela 5: Regras de cálculo específicas

Notas:

  1. A escala LL0 é mesclada com uma das escalas D.
  2. As escalas W permitem multiplicação e divisão com maior precisão, fornecendo efetivamente uma regra com comprimento de 60 centímetros.
  3. O slide é reversível. As escalas no verso são S e 3 escalas LL .
  4. Uma escala adicional, denominada BI , mostra $ {x}^{-2} $.
  5. Possui réguas e instruções no verso da balança.
  6. As escalas LL são mescladas com seus recíprocos, por exemplo, LL1 com LL01 .
  7. Possui uma escala DFM especial no corpo. É dobrado em M , que é o logaritmo de base 10 de e .
  8. Também possui uma escala Ln (logaritmo natural).
  9. Possui as seguintes escalas adicionais:
    • 3 escamas de raiz cúbica no corpo
    • Uma balança dobrada em torno do logaritmo de base 10 de e .
    • Uma escala de logaritmo natural no slide.
  10. Uma borda da régua de cálculo se projeta e pode ser usada como régua.
  11. Esta regra está disponível como parte de um “kit de autoinstrução programado”. Também contém instruções no verso da regra.
  12. É feito de plástico transparente para ser usado em um retroprojetor, para fins didáticos. Acompanha manual de instruções de 48 páginas. Vem em uma caixa com o rótulo “All Metal Slide Rule”.
  13. Belo exemplo de uma régua de cálculo para fins especiais. Feito para cálculos eletrônicos especificamente no Instituto de Eletrônica de Cleveland. O verso possui tabelas e fórmulas úteis em eletrônica. Existem duas escalas para fins especiais. Um mostra $ \frac{x}{2\pi}$, o outro mostra $ \frac{1}{(2\pi)^2 x^2}$. Uma escala L tem base 10, a outra base e .